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   中学からの作文・論文

 同型性で推論する

 「グッド・ウィル・ハンティング/旅立ち」(Good Will Hunting)という映画があります。マット・デイモンが演じるウィル・ハンティングは、マサチューセッツ工科大学で清掃員の仕事をしていました。大学の掲示板にあった数学の証明問題を見かけた彼は、その難問を解いてしまいます。

 字幕スーパーから、同型性で問題を解いたことがわかりました。では、アメリカの娯楽映画にでてくる同型性とは何でしょうか。

 数式表現≡図形表現、論理表現≡集合表現 の関係を同型性といいます。≡は「同じ」を意味し、(数式で表現できる→図形で表現できる)そして(図形で表現できる→数式で表現できる)ことを表しています。→は「ならば」です。

 同型性の例を示します。

数式と図形
 数式と図形が対応しています。


個別化の原理
 すべての場合がいえれば、個別の場合もいえるという原理です。
 (すべてのa→b)→(あるa→b)


後件否定法対偶
 後件を否定することによって、前件を否定することができます。
 (a→b)で(−b)→−a   (a→b)≡(−b→−a)


背理法
 仮定aから、bと−bの矛盾する結果を導くことによって、仮定aが誤りであることを証明することができます。
 (a→b)で(a→−b)→−a


移行の法則
 a→bとb→cからa→cの結論を得ます。
 (a→b)で(b→c)→(a→c)


消去法
 aかbのどちらかで、bでないことがわかったならば、aであるといえます。
(aかb)で(−b)→ a


両刀論法
 選択肢の中で、それぞれの条件によって結論を得ることができます。両刀論法はジレンマともよばれ、集合図・分岐図・流れ図で表現できます。
 (aかb)で(a→C)で(b→C)→ C


 (aかb)で(a→A)で(b→B)→(AかB)


完全列挙の方法
 すべての場合を網羅して結論が正しいことを証明します。
 (すべてのa→b)→(a→b)





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